מדע להמונים

הפוסט הקרוב הוא מתמטי וארוך.
ניסיתי לקבץ חלקים מסויימים ממנו בתקווה שזה יאפשר לכל אחד להתמקד בנושאים שמעניינים אותו, אשמח לשמוע את דעתכם על הניסיון הזה.

אספר על מכונת הימורים שחשבתי עליה, ולדעתי מעלה שאלות מעניינות על האינטואיציה שלנו.

למכונה שלי יש את התכונה הבאה: בחצי מהמקרים היא נותנת את התוצאה 2, ברבע מהמקרים היא נותנת את התוצאה 4, בשמינית מהמקרים היא נותנת את התוצאה 8 וכן הלאה…
כלומר – היא נותנת רק חזקות של שתיים, והסבירות לכל תוצאה, היא 1 חלקי התוצאה.
תכונה של המכונה הזו היא שלכל מספר שתבחרו (אפילו אי זוגי), הסיכוי שיצא מספר גדול ממנו הוא פחות מאחד חלקי המספר.

בעית ארבע הצבעים היא בעיה במתמטיקה האומרת שניתן לצבוע כל מפה בעזרת ארבעה צבעים בלבד כך שלא יהיו שני שטחים שנוגעים זה בזה.
אתם מוזמנים להתנסות בצביעת מפה באופן כזה עם האפליקציה הזו:

מפות נוספות

הבעיה הזו עניינה אותי במיוחד, בגלל שהיא מקשרת בין עולם המתמטיקה לעולם המחשבים.
בשנת 1976 חוקרים מאוניברסיטת אלנוי הצליחו להוכיח את המשפט.
הם הוכיחו זאת על ידי פירוק הבעיה ל1936 תת-בעיות קטנות ובדיקת כל אחת מהן בנפרד במחשב, הרצה שנמשכה מספר ימים.

החיבור בין מתמטיקה למחשבים הוא הכרחי, אך לא טבעי. החוקרים בשני התחומים הם בעלי מנטליות שונה לחלוטין. למשל מחקר חדש במתמטיקה צריך לעבור תהליך של חודשים עד שנים של בדיקה על ידי מומחים לפני שהוא מפורסם, לעומת זאת מחקר במחשבים שיקח לו יותר מחודש להתפרסם עלול לאבד רלוונטיות.

הפער הקשה לגישור הזה גרר הרבה ביקורת על ההוכחה מצד מתמטיקאים.
שתי הטענות שאתייחס אליהן הן:
ההוכחה לא תקפה – מתמטיקה היא מדע מדויק, הוכחה צריכה להרשם באופן שניתן לעבור על כל פרט שלה, אסור שמחשב יבדוק אותה כי אפילו אם קיים סיכוי של 0.00001% לטעות (בין אם באלגוריתם, בהקלדה, במימוש של המחשב או טעות מכנית שכן מחשב הוא מכונה מבוססת זרם חשמלי) אז זו לא הוכחה מתקבלת. גם אם נבדוק את האלגוריתם ונריץ על המון מחשבים, וניתן למחשבים לבדוק אחד את השני, מאחר ולעולם אנשים לא יוכלו לעבור שלב שלב על ההוכחה כולה היא לא תקפה.
ההוכחה לא יפה – הרבה מתמטיקאים התאכזבו לגלות שכך הוכח המשפט, מאחר ובדרך כלל הוכחה של משפט מתמטי מלווה בשימוש במספר כלים ממספר תחומים שבאופן מפתיע משתלבים יחד. בדרך כלל מעצם ההוכחה מקבלים תובנות חדשות שאינן נובעות מעצם המשפט שהוכח לבדו. בהוכחה שמבוססת על בדיקת המון מקרים אחד אחד זה לא קורה.

אני, שמגיע מתחום המחשבים, מתנגד נחרצות לטענות האלו, על סף האשמת המתמטיקאים בטכנופוביה (בלי הכללות, הרבה מהם כן מקבלים את ההוכחה)
לטענתי:
ההוכחה כן תקפה – אנחנו יודעים איך מחשב עובד, ונוכל לבדוק את ההוכחה שוב ושוב ככל שהטכנולוגיה תשתפר ולכן יחסית אפשר לסמוך עליו. כשאני אומר יחסית, אני מתכוון לעומת מכונות מבוססות אינטרקציות כימיות אקראיות, שאנחנו לא מבינים איך הן עובדות, אנחנו יודעים בוודאות שבמקרים מסוימים תפיסת המציאות שלהן שגויה, ורוב ההוכחות המתמטיות בוצעו על ידן: בני האדם.
ההוכחה כן יפה – ברגע שהצלחנו להוכיח בעיה מתמטית בעזרת מחשב, נפתח בפנינו עולם חדש שלם של גישה לבעיות מתמטיות, אילו עוד בעיות אפשר להכריע באופן דומה? איך פותרים בעיות מורכבות יותר?
חוץ מזה שעל מנת להצליח לפתור בעיה מתמטית עם מחשב, צריכים לעשות שימוש לא צפוי בידע ממקומות שונים של מדעי המחשב, ומקבלים תובנות חדשות על שימוש באלגוריתמים.

נושא בעית ארבע הצבעים היווה נקודה מרכזית בנוגע לתפיסה שלי במתמטיקה, כך לראשונה נחשפתי לעובדה שתקפות של הוכחה מתמטית הוא נושא בר וויכוח. אני מקווה לשוב לדון על תופעה מעניינת זו בפוסטים עתידיים.

לקריאה נוספת: משפט ארבעת הצבעים בויקיפדיה

אני הולך לנסות לתת אינטואיצה למשפט שגדל הוכיח לגבי בסיס המתמטיקה.
קודם כל הייתי זקוק לאינטואציה הזו לעצמי, על מנת להבין האם משפטים כמו:
"משפט שהוכח באופן מתמטי עשוי יום אחד להיות מופרך" הם נכונים
(המשפט הזה למשל, אינו נובע ממשפט גדל)

אחרי שנוצרה אצלי מספיק אינטואציה בשביל לענות על השאלה הזו, אני רוצה לשתף את האינטואיציה עם אחרים.

— חלק א: הכירות עם פרדוקס —
יש לי הרבה ספרים בבית, למשל "אשתו של הנוסע בזמן" (מומלץ), ולמשל "איש הקובייה" (גם מומלץ).
ואז הבחנתי בדבר מעניין, בספר אשתו של הנוסע בזמן, מעולם לא מתייחסים אל האשה בתור "אשתו של הנוסע בזמן", למעשה הטקסט הזה לא מופיע בספר פרט לכותרת.
לעומתו בספר "איש הקובייה" הגיבור בשלב מסויים מתייחס לעצמו בתור: "איש הקובייה" ושם הספר מופיע בתוך הספר עצמו.
החלטתי לעשות רשימה של כל הספרים שיש לי בבית, ולכן יצרתי שני קבצים במחשב:
"ספרים שהשם שלהם מופיע בהם", "ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם"
ובכל קובץ רשמתי את השמות של כל הספרים בספרייה שלי בהתאם.
רגע לפני שהדפסתי, הבנתי שכשאדפיס אצטרך להוסיף עוד שני שמות לספרים שלי, הספר: "ספרים שהשם שלהם מופיע בהם" והספר: "ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם"
הוספתי את שניהם בסוף הרשימה של: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם.
הספר: ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, לא מופיע בעצמו והוא שמח ומוכן להדפסה.
אבל פתאום הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, מופיע בעצמו.
אז העברתי אותו לרשימה השניה, אבל אז הוא לא הופיע בעצמו וכן הופיע ברשימה של ספרים שהופיעו בעצמם.
ניסיתי לרשום אותו בשני הקבצים, או לא לרשום אותו באף קובץ ושום פתרון לא הצליח.
ניסיתי לשנות את השם שלו ל"ספרים שלא מופיעים בספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם"
ואז יכולתי לרשום אותו בעצמו
אבל שוב – אז הייתי צריך לרשום אותו ב: ספרים שהשם שלהם מופיע בהם.
בסופו של דבר הדפסתי רק את הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, ועל השני נאלצתי לוותר.

— חלק ב*: משפט גדל על רגל אחת —
גם במתמטיקה קרה שהגיעו למקרים דומים למקרים כאלו, מקרים שבהם נתקעים ואין ברירה אלא לוותר.
וויתור יכול להיות ספציפי – לא נדפיס ספר בשם: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם.
או כללי – לא נדפיס ספרים שהשם שלהם מופיע בעצמם.
מה שגדל הוכיח הוא שלכל מתמטיקה שנבנה, או כל סט של חוקים שנחליט עליו תתקיים אחת משתי אפשרויות:
1. ניתן להוכיח דברים שאינם נכונים (מערכת כזו נוצרת כאשר אנחנו יכולים לבנות דברים מוזרים כמו הספר – ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם)
2. יהיו דברים נכונים שלא ניתן להוכיח (מערכת כזו, לא תאפשר לי ליצור ספר בעייתי כזה, אבל עשוי להיות שגם לא אוכל ליצור את הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם)

— חלק ג: המשמעות של בחירה באפשרות 1 —
אפשר לומר: בסדר, למתמטיקה יש יצורים מוזרים. למשל מעכשיו אקרא לספר: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם – "הספר המוזר"
אפשר גם להחליט שכל פעם שנתקל ביצור מוזר נוותר עליו באופן ספציפי.
הבעיה במתמטיקה כזו, היא שאנחנו עלולים לא לדעת שהספר המוזר הוא אכן מוזר, שני מתמטיקאים מוכרים יגיעו באופן חוקי לשתי תוצאות שונות:
מתמטיקאי ידוע 1 מגלה שהספר המוזר מכיל את עצמו.
מתמטיקאי ידוע 2 מגלה שהספר המוזר לא מכיל את עצמו.
שניהם הגיעו למסקנה שלהם באופן מתמטי תקין.

מתמטיקאי מטורף, אילוסטרציה

אבל אז יבוא מתמטיקאי מטורף ויאמר כך:
"הספר המוזר" מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
הוא בא אל מתמטיקאי 1 ושואל מה דעתו על המשפט שלו.
המתמטיקאי אומר לו – המשפט נכון.
הספר המוזר אכן מכיל את עצמו, ובפרט נכון לומר ש:
"הספר המוזר" מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
וכך יהיה משפט מתמטי חדש, שהוכר על ידי מתמטיקאי ידוע.
יבוא המתמטיקאי המטורף למתמטיקאי 2 ויראה לו,
הנה משפט שהוכר על ידי מתמטיקאי ידוע:
"הספר המוזר" מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
המתמטיקאי הזה יודע שהספר המוזר אינו מכיל את עצמו, ולכן נובע שהירח עשוי מגבינה צהובה.
עכשיו על סמך מתמטיקאים ידועים – הירח עשוי מגבינה צהובה.
ולפיסיקאים שכידוע לא מתווכחים עם מתמטיקאים, יש בעיות חמורות.

— חלק ד: המשמעות של בחירה באפשרות 2 —
ניתן להתגבר על הבעיות של אפשרות 1 על ידי הגבלות שונות:
אסור לעשות אינדקס של ספר בעצמו, אסור לעשות רשימה של כל הספרים, אסור שכותרת הספר תתאר את הספר וכדומה.
אם אנחנו עושים את האמירות האלו מספיק כלליות, אפשר להמנע מבעיות לחלוטין. ניתן להוכיח שיש מתמטיקות שלא ניתן להגיע בהן לפרדוקסים.
אבל זה בא עם מחיר:
לא רק שאני אצטרך לוותר על הספר שלי – "כל הספרים שהשם שלהם מופיע בעצמם" (שהודפס ובסדר).
אבל גם אצטרך לוותר על הקטלוגים שהדפסתי בכיף שנה שעברה:
ספרים שיש בהם יותר מ100 עמודים, ספרים שיש בהם פחות מ100 עמודים.
שלא היתה איתם שום בעיה. אבל התנאים החדשים לא מרשים.
אחר כך אני גם לא יכול לקרוא את "איש הקובייה" כי החוקים החדשים לא מרשים לספר לכתוב את הכותרת שלו בעצמו.
ופתאום אני מגלה שנשארו לי מעט מאוד ספרים לקרוא, כי רוב הספרים מתארים את עצמם בכותרת ואני עובר לקרוא רכיבים של מוצרים במקום.
זה מרגיש קצת לא הוגן…

— סיכום —
המחיר שהמתמטיקה צריכה לשלם על הבחירה שלה לדבוק באמת חד משמעית ומדוייקת הוא שלעד יישארו דברים שהיא לא תוכל להתמודד איתם.
חלק יהיו מחוץ לעולם המושגים שלה (כמו ספר שמתייחס לעצמו)
וחלק יהיו בעולם המושגים שלה, אבל הכלים להוכחה יהיו בחוץ, ולכן יהיו דברים נכונים שהיא לא תוכל להוכיח.
תודה לכל מי שהגיע עד הלום, אני מקווה שהסבתי לכם חומר למחשבה.

* אני מתנצל בפני כל מי שהכותרת הטעתה אותו לחשוב שאני הולך לדבר על משפטים שגדלו על רגליים

הזכרתי כבר בעבר שקיימים סוגים שונים של לוגיקה.
לכבוד פורים ערכתי מסיבת חידות וניסיתי לאמץ אליה סוג אחר של לוגיקה שאכנה – לוגיקת העריץ.
זו לא המצאה שלי, זו לוגיקה קיימת ומוכרת גם בשלטונות מסויימים, כמו גם בכל חברה בעלת גוף ריבון על האמת (ע"ע דתיים).

כשהתחלנו את הערב ניסיתי להבהיר למשתתפים את החוק האחד של לוגיקת העריץ:
משפט הוא אמת מהרגע שאני אומר אותו.

באופן אישי, ניסיתי לדבוק בעקרונות האמת באופן שאני תופס אותם ללא קשר לחוק החדש, אבל זה לא משנה – בעולם הקטן שלנו, בין אם קלעתי לאמת מוכרת ובין אם לא, נשמרת האמת הפנימית.

הבעיה היתה שלוגיקות התנגשו. אף על פי שהצהרתי על הלוגיקה החדשה, ואף על פי שהמשתתפים הביעו נכונות לשתף פעולה, מושגים כמו אמת ושקר כל כך מושרשים בדמנו שקשה לנו לעבור לתפיסה זרה.

אני מודה שחלק ניכר מהתופעה הוא באשמתי, לא הייתי עריץ משכנע במיוחד, וכך נוצרה הבעיה הראשונה – אנשים התווכחו איתי, ובכך עם האמת המוחלטת.

זו לא בעיה מאוד חמורה, כי בסוף לרוב קיבלו את מרותי, ואם השתנתה דעתי בעקבות הוויכוח, אז עדיין האמת המוחלטת (שעכשיו היא שונה ממקודם) היא הקובעת. וחוץ מזה, גם בחיים האמיתיים אנשים מתווכחים עם מציאות ועובדות.

הבעיה החמורה (מבחינה לוגית) היתה שלפעמים כשאמרתי משהו היו שאמרו – לא ניתן להאמין לזה, משום שלפי הלוגיקה אתה עשוי לומר אחר כך משהו סותר וזו תהיה האמת.

זה נכון. לפי לוגיקה רגילה: אם אני אומר כל התפוחים אדומים. ואחר כך אני אומר כל התפוחים ירוקים, אם זו אמת אז המשפט הקודם שאמרתי היה שקר (בהנחה שקיימים תפוחים).

זה לא המקרה לפי לוגיקת העריץ. אני אומר כל התפוחים אדומים – זו אמת מוחלטת. אחר כך אני אומר כל התפוחים ירוקים – זו אמת מוחלטת. השאלה אם קודם שיקרתי כבר לא רלוונטית. אני עשוי לומר – תמיד אמרתי אמת וזו תהיה אמת מוחלטת אף על פי שכל התפוחים ירוקים.

מנהיג – תמונת אילוסטרציה

קשה להכנס לראש של לוגיקת עריץ ולהבין את זה, אם הנושא מעניין אתכם הייתי ממליץ על הספר 1984.
בספר מציגים באופן מוצלח למדי חברה המושתתת על עקרון לוגיקת העריץ דרך עיניים של גיבור אשר מגיע עם לוגיקה "רגילה". בהתחלה נראה לו שכולם משוגעים, איך אפשר להאמין שדברים סותרים הם אמת? איך אפשר באמת ובתמים להאמין ש4=5?
ובהמשך הסיפור הוא מצליח להטמיע עקרונות מלוגיקת העריץ.

יש לי מספר השקפות שונות על הדת בתחומים שונים.
אחת ההשקפות שלי אומרת שדת ביסודה היא מדע עתיק, היא נוצרה לשם אותם הצרכים ועל ידי אותו סוג של אנשים שמובילים כיום את עולם המדע.

אם נעשה רשימה של הנושאים שדת נתנה עליהם מענה, נגלה שרובם מופיעים כיום כנושאים באוניברסיטאות. שאלות כגון:
איך לנהל אורח חיים בריא?
אתיקה
איך העולם עובד?
מה ראוי שיהיה מבנה התא המשפחתי?
מה ראוי שיהיה מבנה גוף השלטון?
חוק ומשפט
לשון וספרות
הסטוריה
וכן הלאה.

כפי שאני רואה זאת, החוקרים שפיתחו את הדת הפיצו את התובנות שלהם ואלו התפתחו והשתנו ככל שהקהילה המדעית גדלה (או קבוצת המאמינים התרחבה). הדת כבר התפתחה מעבר למחקר והפכה למכנה חברתי משותף שדרש ממשתפיו פעולה באופן מסויים (שהדת\מדע מצאו לנכון שכך יש לפעול) הבעיה התחילה כשאנשים, דווקא עם חוש מדעי מפותח, התחילו לשאול שאלות על עצם המהות והנכונות של הדת – למה שנוותר על חיי הנוחות שחיינו? פתאום אומרים לנו מה לאכול ואיך לנהוג? על סמך מה אפשר לדעת שאלו באמת אמיתות?

שאלות כגון אלו הן חלק מהותי בהתפתחות של תהליך מדעי, וחלקן אכן תרמו להבנת נושאים יותר לעומק ולמציאת פתרונות איכותיים למספר רב של מקרים. אבל תופעת לוואי של שאלות אלו הייתה שהדת נכנסה למצב של מגננה. בתור מנגנון מדעי צעיר, הדת לא יכלה להרשות לעצמה להיות חשופה להתקפות מסוג זה משום שהאיום היה עלול לגרום לה להתמוטט עם כל ההשיגים והתובנות (המרשימים בהחלט) שאנשיה מצאו. תהליך זה של התגוננות החל בכיוון ההמונים – נתנו להם סיפורים סגורים שעונים על שאלות שונות, ונתנו הבטחות גמול למי שילך בדרך זו ואיומים כלפי מי שלא. גישה זו סיפקה את האדם הפשוט שמעוניין בחיים פשוטים וטובים, אבל כאשר קמה התנגדות מושכלת התהליך היה מורכב יותר והסתמך על פניה להמונים המשוכנעים כראיה שאם כולם יודעים את זה, זה חייב להיות נכון.

עם הזמן וככל שהתורה המדעית גדלה, הדת נחשפה ליותר להתקפות ונאלצה להקדיש מאמץ בבניית מנגנוני הגנה שעלה על המאמץ בקידום המחקר.

כיום, מנגנון ההגנה העצמית זכה לשיוף של אלפי שנים (בקרב רוב הדתות הגדולות) ואנשים שחיים במסגרת דתית כמעט ולא יכולים לצאת ממנה, כאשר הם שומעים אנשים מעלים שאלות המעמידות את הדת בספק, הם כבר שמעו אלף תשובות לנקודה הספציפית המועלת, ואפילו אם היה אפשר לשכנע אותם אחרת אחרי מאמץ רב, התוצאה תהיה נקודתית (למשל לשכנע אותם שהיו דינוזאורים) בעוד מבחינתם עדיין יש עוד אלף ואחת נקודות אחרות שמוכיחות את הנכונות והעליונות של הדת. לא פשוט במשך זמן סביר להביא אדם כזה לזוית ראיה אחרת.

עכשיו, אחרי שהדת נתקעה, ראוי שתמצא דרך חדשה להביא להתקדמות. בעוד בעיני עליה לפנות דרך למדעים המודרניים. אפשרות נוספת היא להטמיע בתוכה עקרונות מדעיים – למשל לעודד כל אדם לענות על השאלה הזו: "כיצד היה משתנה העולם לו היה או לא היה אל המשגיח אליו?", תשובה עצמית על שאלה זו ודומות אחרות תקרב אותך לאמונה או חוסר אמונה מבוססים יותר.

ולסיום – אני לא אוהב את רוב הדתות במבנה הנוכחי שלהן, אני חושב שהן מסוכנות, הן מעודדות אנשים לאי-לקיחת אחריות, להקטנת ראש ולצרות אופקים. אבל אני מוכרח להודות שיש כמה נקודות לזכותן:
אני מכיר מעט מאוד קבוצות מגובשות וחזקות כמו הקבוצות שנוצרות במסגרת דתית.
בסופו של דבר, גם אם זה נובע מאנטרסים אנוכיים, גופים דתיים עושים הרבה למען אוכלוסיות מוחלשות. ברמה כזו שכשאדם מתנדב לעזור לזולת, עולה השאלה אם הוא שייך לארגון דתי (במיוחד גופים נוצריים משום מה).

עלינו, תומכי המדע המודרני, מוטלת האחריות לגלות איך אנחנו יכולים לשפר את הנקודות הללו בחברה שלנו.