מדע להמונים

הפוסט הקרוב הוא מתמטי וארוך.
ניסיתי לקבץ חלקים מסויימים ממנו בתקווה שזה יאפשר לכל אחד להתמקד בנושאים שמעניינים אותו, אשמח לשמוע את דעתכם על הניסיון הזה.

אספר על מכונת הימורים שחשבתי עליה, ולדעתי מעלה שאלות מעניינות על האינטואיציה שלנו.

למכונה שלי יש את התכונה הבאה: בחצי מהמקרים היא נותנת את התוצאה 2, ברבע מהמקרים היא נותנת את התוצאה 4, בשמינית מהמקרים היא נותנת את התוצאה 8 וכן הלאה…
כלומר – היא נותנת רק חזקות של שתיים, והסבירות לכל תוצאה, היא 1 חלקי התוצאה.
תכונה של המכונה הזו היא שלכל מספר שתבחרו (אפילו אי זוגי), הסיכוי שיצא מספר גדול ממנו הוא פחות מאחד חלקי המספר.

בעית ארבע הצבעים היא בעיה במתמטיקה האומרת שניתן לצבוע כל מפה בעזרת ארבעה צבעים בלבד כך שלא יהיו שני שטחים שנוגעים זה בזה.
אתם מוזמנים להתנסות בצביעת מפה באופן כזה עם האפליקציה הזו:

מפות נוספות

הבעיה הזו עניינה אותי במיוחד, בגלל שהיא מקשרת בין עולם המתמטיקה לעולם המחשבים.
בשנת 1976 חוקרים מאוניברסיטת אלנוי הצליחו להוכיח את המשפט.
הם הוכיחו זאת על ידי פירוק הבעיה ל1936 תת-בעיות קטנות ובדיקת כל אחת מהן בנפרד במחשב, הרצה שנמשכה מספר ימים.

החיבור בין מתמטיקה למחשבים הוא הכרחי, אך לא טבעי. החוקרים בשני התחומים הם בעלי מנטליות שונה לחלוטין. למשל מחקר חדש במתמטיקה צריך לעבור תהליך של חודשים עד שנים של בדיקה על ידי מומחים לפני שהוא מפורסם, לעומת זאת מחקר במחשבים שיקח לו יותר מחודש להתפרסם עלול לאבד רלוונטיות.

הפער הקשה לגישור הזה גרר הרבה ביקורת על ההוכחה מצד מתמטיקאים.
שתי הטענות שאתייחס אליהן הן:
ההוכחה לא תקפה – מתמטיקה היא מדע מדויק, הוכחה צריכה להרשם באופן שניתן לעבור על כל פרט שלה, אסור שמחשב יבדוק אותה כי אפילו אם קיים סיכוי של 0.00001% לטעות (בין אם באלגוריתם, בהקלדה, במימוש של המחשב או טעות מכנית שכן מחשב הוא מכונה מבוססת זרם חשמלי) אז זו לא הוכחה מתקבלת. גם אם נבדוק את האלגוריתם ונריץ על המון מחשבים, וניתן למחשבים לבדוק אחד את השני, מאחר ולעולם אנשים לא יוכלו לעבור שלב שלב על ההוכחה כולה היא לא תקפה.
ההוכחה לא יפה – הרבה מתמטיקאים התאכזבו לגלות שכך הוכח המשפט, מאחר ובדרך כלל הוכחה של משפט מתמטי מלווה בשימוש במספר כלים ממספר תחומים שבאופן מפתיע משתלבים יחד. בדרך כלל מעצם ההוכחה מקבלים תובנות חדשות שאינן נובעות מעצם המשפט שהוכח לבדו. בהוכחה שמבוססת על בדיקת המון מקרים אחד אחד זה לא קורה.

אני, שמגיע מתחום המחשבים, מתנגד נחרצות לטענות האלו, על סף האשמת המתמטיקאים בטכנופוביה (בלי הכללות, הרבה מהם כן מקבלים את ההוכחה)
לטענתי:
ההוכחה כן תקפה – אנחנו יודעים איך מחשב עובד, ונוכל לבדוק את ההוכחה שוב ושוב ככל שהטכנולוגיה תשתפר ולכן יחסית אפשר לסמוך עליו. כשאני אומר יחסית, אני מתכוון לעומת מכונות מבוססות אינטרקציות כימיות אקראיות, שאנחנו לא מבינים איך הן עובדות, אנחנו יודעים בוודאות שבמקרים מסוימים תפיסת המציאות שלהן שגויה, ורוב ההוכחות המתמטיות בוצעו על ידן: בני האדם.
ההוכחה כן יפה – ברגע שהצלחנו להוכיח בעיה מתמטית בעזרת מחשב, נפתח בפנינו עולם חדש שלם של גישה לבעיות מתמטיות, אילו עוד בעיות אפשר להכריע באופן דומה? איך פותרים בעיות מורכבות יותר?
חוץ מזה שעל מנת להצליח לפתור בעיה מתמטית עם מחשב, צריכים לעשות שימוש לא צפוי בידע ממקומות שונים של מדעי המחשב, ומקבלים תובנות חדשות על שימוש באלגוריתמים.

נושא בעית ארבע הצבעים היווה נקודה מרכזית בנוגע לתפיסה שלי במתמטיקה, כך לראשונה נחשפתי לעובדה שתקפות של הוכחה מתמטית הוא נושא בר וויכוח. אני מקווה לשוב לדון על תופעה מעניינת זו בפוסטים עתידיים.

לקריאה נוספת: משפט ארבעת הצבעים בויקיפדיה

זה פתרון של תרגיל מהשיעורים שלי.
אני מסתכל פה ויש משהו שלא מסתדר טוב.
איך זה שפעולות בין משולשים שעומדים על הקודקוד עם עיגולים חצויים, מביאות אותנו בסוף למשולשים שעומדים על הבסיס וקווים אנכיים?
מאיפה הם צצו? הם אפילו לא היו בנוסחה!

אני הולך לנסות לתת אינטואיצה למשפט שגדל הוכיח לגבי בסיס המתמטיקה.
קודם כל הייתי זקוק לאינטואציה הזו לעצמי, על מנת להבין האם משפטים כמו:
"משפט שהוכח באופן מתמטי עשוי יום אחד להיות מופרך" הם נכונים
(המשפט הזה למשל, אינו נובע ממשפט גדל)

אחרי שנוצרה אצלי מספיק אינטואציה בשביל לענות על השאלה הזו, אני רוצה לשתף את האינטואיציה עם אחרים.

— חלק א: הכירות עם פרדוקס —
יש לי הרבה ספרים בבית, למשל "אשתו של הנוסע בזמן" (מומלץ), ולמשל "איש הקובייה" (גם מומלץ).
ואז הבחנתי בדבר מעניין, בספר אשתו של הנוסע בזמן, מעולם לא מתייחסים אל האשה בתור "אשתו של הנוסע בזמן", למעשה הטקסט הזה לא מופיע בספר פרט לכותרת.
לעומתו בספר "איש הקובייה" הגיבור בשלב מסויים מתייחס לעצמו בתור: "איש הקובייה" ושם הספר מופיע בתוך הספר עצמו.
החלטתי לעשות רשימה של כל הספרים שיש לי בבית, ולכן יצרתי שני קבצים במחשב:
"ספרים שהשם שלהם מופיע בהם", "ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם"
ובכל קובץ רשמתי את השמות של כל הספרים בספרייה שלי בהתאם.
רגע לפני שהדפסתי, הבנתי שכשאדפיס אצטרך להוסיף עוד שני שמות לספרים שלי, הספר: "ספרים שהשם שלהם מופיע בהם" והספר: "ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם"
הוספתי את שניהם בסוף הרשימה של: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם.
הספר: ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, לא מופיע בעצמו והוא שמח ומוכן להדפסה.
אבל פתאום הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, מופיע בעצמו.
אז העברתי אותו לרשימה השניה, אבל אז הוא לא הופיע בעצמו וכן הופיע ברשימה של ספרים שהופיעו בעצמם.
ניסיתי לרשום אותו בשני הקבצים, או לא לרשום אותו באף קובץ ושום פתרון לא הצליח.
ניסיתי לשנות את השם שלו ל"ספרים שלא מופיעים בספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם"
ואז יכולתי לרשום אותו בעצמו
אבל שוב – אז הייתי צריך לרשום אותו ב: ספרים שהשם שלהם מופיע בהם.
בסופו של דבר הדפסתי רק את הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם, ועל השני נאלצתי לוותר.

— חלק ב*: משפט גדל על רגל אחת —
גם במתמטיקה קרה שהגיעו למקרים דומים למקרים כאלו, מקרים שבהם נתקעים ואין ברירה אלא לוותר.
וויתור יכול להיות ספציפי – לא נדפיס ספר בשם: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם.
או כללי – לא נדפיס ספרים שהשם שלהם מופיע בעצמם.
מה שגדל הוכיח הוא שלכל מתמטיקה שנבנה, או כל סט של חוקים שנחליט עליו תתקיים אחת משתי אפשרויות:
1. ניתן להוכיח דברים שאינם נכונים (מערכת כזו נוצרת כאשר אנחנו יכולים לבנות דברים מוזרים כמו הספר – ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם)
2. יהיו דברים נכונים שלא ניתן להוכיח (מערכת כזו, לא תאפשר לי ליצור ספר בעייתי כזה, אבל עשוי להיות שגם לא אוכל ליצור את הספר – ספרים שהשם שלהם מופיע בהם)

— חלק ג: המשמעות של בחירה באפשרות 1 —
אפשר לומר: בסדר, למתמטיקה יש יצורים מוזרים. למשל מעכשיו אקרא לספר: ספרים שהשם שלהם לא מופיע בהם – "הספר המוזר"
אפשר גם להחליט שכל פעם שנתקל ביצור מוזר נוותר עליו באופן ספציפי.
הבעיה במתמטיקה כזו, היא שאנחנו עלולים לא לדעת שהספר המוזר הוא אכן מוזר, שני מתמטיקאים מוכרים יגיעו באופן חוקי לשתי תוצאות שונות:
מתמטיקאי ידוע 1 מגלה שהספר המוזר מכיל את עצמו.
מתמטיקאי ידוע 2 מגלה שהספר המוזר לא מכיל את עצמו.
שניהם הגיעו למסקנה שלהם באופן מתמטי תקין.

מתמטיקאי מטורף, אילוסטרציה

אבל אז יבוא מתמטיקאי מטורף ויאמר כך:
"הספר המוזר" מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
הוא בא אל מתמטיקאי 1 ושואל מה דעתו על המשפט שלו.
המתמטיקאי אומר לו – המשפט נכון.
הספר המוזר אכן מכיל את עצמו, ובפרט נכון לומר ש:
"הספר המוזר" מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
וכך יהיה משפט מתמטי חדש, שהוכר על ידי מתמטיקאי ידוע.
יבוא המתמטיקאי המטורף למתמטיקאי 2 ויראה לו,
הנה משפט שהוכר על ידי מתמטיקאי ידוע:
"הספר המוזר" מכיל את עצמו ו/או הירח עשוי מגבינה צהובה.
המתמטיקאי הזה יודע שהספר המוזר אינו מכיל את עצמו, ולכן נובע שהירח עשוי מגבינה צהובה.
עכשיו על סמך מתמטיקאים ידועים – הירח עשוי מגבינה צהובה.
ולפיסיקאים שכידוע לא מתווכחים עם מתמטיקאים, יש בעיות חמורות.

— חלק ד: המשמעות של בחירה באפשרות 2 —
ניתן להתגבר על הבעיות של אפשרות 1 על ידי הגבלות שונות:
אסור לעשות אינדקס של ספר בעצמו, אסור לעשות רשימה של כל הספרים, אסור שכותרת הספר תתאר את הספר וכדומה.
אם אנחנו עושים את האמירות האלו מספיק כלליות, אפשר להמנע מבעיות לחלוטין. ניתן להוכיח שיש מתמטיקות שלא ניתן להגיע בהן לפרדוקסים.
אבל זה בא עם מחיר:
לא רק שאני אצטרך לוותר על הספר שלי – "כל הספרים שהשם שלהם מופיע בעצמם" (שהודפס ובסדר).
אבל גם אצטרך לוותר על הקטלוגים שהדפסתי בכיף שנה שעברה:
ספרים שיש בהם יותר מ100 עמודים, ספרים שיש בהם פחות מ100 עמודים.
שלא היתה איתם שום בעיה. אבל התנאים החדשים לא מרשים.
אחר כך אני גם לא יכול לקרוא את "איש הקובייה" כי החוקים החדשים לא מרשים לספר לכתוב את הכותרת שלו בעצמו.
ופתאום אני מגלה שנשארו לי מעט מאוד ספרים לקרוא, כי רוב הספרים מתארים את עצמם בכותרת ואני עובר לקרוא רכיבים של מוצרים במקום.
זה מרגיש קצת לא הוגן…

— סיכום —
המחיר שהמתמטיקה צריכה לשלם על הבחירה שלה לדבוק באמת חד משמעית ומדוייקת הוא שלעד יישארו דברים שהיא לא תוכל להתמודד איתם.
חלק יהיו מחוץ לעולם המושגים שלה (כמו ספר שמתייחס לעצמו)
וחלק יהיו בעולם המושגים שלה, אבל הכלים להוכחה יהיו בחוץ, ולכן יהיו דברים נכונים שהיא לא תוכל להוכיח.
תודה לכל מי שהגיע עד הלום, אני מקווה שהסבתי לכם חומר למחשבה.

* אני מתנצל בפני כל מי שהכותרת הטעתה אותו לחשוב שאני הולך לדבר על משפטים שגדלו על רגליים

החלטתי לשדרג את הפוסט "מתמטיקה בגרוש".
מסתבר שאותה שאלה של – מה בא אחרי טריליון, היא עדיין שאלה שמעניינת אותי.
ולהלן המסקנות:
ראשית יש להתייחס לשיטת הספירה. האמריקאים (יש שם נכון יותר בעברית לתאר את תושבי ארצות הברית? למקסיקנים בטיול שלי תמיד הפריע שמתייחסים לארה"בים בתור אמריקאים ואליהם לא) סופרים בקפיצות של אלף (שלושה אפסים), וכל שאר העולם סופר בקפיצות של מיליון (ששה אפסים).
למה העולם סופר בחזקות של מיליון?
כי ביליון זה בי (=פעמיים) מיליון, וטריליון זה טרי (=שלוש) מיליון וכן הלאה.
למה בארה"ב סופרים בקפיצות של אלף?
לא יודע. אולי מיליון גדול להם.

ואכן, הבנתם נכון!
עדיף להרוויח ביליון שקלים מאשר
billion dollars

מה שאר העולם עושה כדי לתאר את המספרים החסרים?
מחליפים את ה"ליון" ב"ליארד"
אלף מיליון = מליארד
אלף ביליון = ביליארד
טוב, יש סיכוי קטן שהאינטואציה שלי מטעה אתכם כאן, אני לא בלשן ולא מתמטיקאי ואני זוכר ששיחקתי פעם משחק שנקרא – "ביליארד משימות" ולא היו בו כל כך הרבה משימות…

ועכשיו לתשובות:
לפי השיטה העולמית חוץ מארה"ב (תקרא מעתה עח"א) כמובן שהתשובה היא טריליארד.

משם הקפיצות יהיו כך:

עוד מספרים שמעניין להכיר:
גוגול = 1 עם 100 אפסים (אין הבדל בין השיטות, זה קבוע)
משתמשים בו פחות לצרכים מתמטיים ויותר בתור מספר גדול להחריד, הוא מייצג מספר גדול יותר מכמות החלקקים המוערכת ביקום.
אם השם שלו נשמע לכם מוכר, זו לא מקריות, הקבוע הזה הוא זה שנתן את ההשראה לשם של תוכנת החיפוש – גוגל.

גוגולפלקס = 1 עם גוגול אפסים אחריו
הייחוד שלו היא שלא ניתן לכתוב אותו בצורתו המלאה (100000…) ביקום שלנו מאחר ולא יהיה מספיק דיו ונייר, או לחילופין דיסק קשיח (אין מספיק חלקיקים ביקום)

זיליון = השם המדעי של "מלאנתלפים"

הפוסט הזה מזכיר לי משחק ששמעתי עליו פעם. לוקחים שני מתנדבים, נותנים לכל אחד פיסת נייר וכלי כתיבה, והם צריכים תוך הגבלת זמן לכתוב את המספר הכי גדול שהם יכולים. מנצח מי שכתב את המספר הגדול יותר. מותר להשתמש בכל חישוב או סימן שהקהילה המדעית מכירה בו כל עוד המספר הוא מספר סופי (אסור למשל להשתמש ב"אין סוף" או ב"זיליון")
אם רוצים לעשות גרסא יותר ישימה למשחק, אפשר להגדיר שמותר להשתמש בכל חישוב או סימן שניתן למצוא בוויקפדיה.
(אפשר בקלות להגיע למספרים אדירים, הרבה יותר מכל מה שמוצג כאן)

ונסיים בבדיחה:
אלוהים נגלה לילד בחלומו ומבטיח לענות לו על כל שאלה.
הילד שאל אותו: "איך הזמן זז אצלך? כמו אצלנו?"
אלוהים ענה: "כשאצלי עוברת שניה אחת, אצלך עוברות מיןטיליון*** שנים"
הילד המשיך לשאול: "ואיך הכלכלה אצלך? אפשר לשחד אותך?"
אלוהים ענה: "אגורה אחת שלי היא כמו סנטיליון שנקלים שלך"
התרגש הילד: "וואו! באמת? אז אפשר אגורה?"
"אין בעיה" ענה לו אלוהים "חכה שניה"

* כן סקס!
** הייתי חושב שאנדציליון ייצג כל מספר שאינו דציליון…
*** הגרסא המצונזרת של סקסטיליון שאלוהים משתמש בה כשהוא מדבר עם ילדים